к решению математических задач

к решению математических задач

§ 1. Математическая система Maple: главные механизмы работы

Система Maple (разработана канадской компанией Waterloo Maple Software) на нынешнее время является одной из ведущих вычислительных систем компьютерной арифметики (вместе с MathCad, MathLab, Mathematica). На самом деле, Maple – это не просто математическая программка, а целый комплекс так именуемых пакетов (packages), любой из которых ориентирован на решение разных задач линейной алгебры, аналитической геометрии к решению математических задач, математического анализа, дифференциальных уравнений, математической статистики, линейного и нелинейного программирования и т.д.

Maple обычно считают системой аналитико-символьных вычислений (в отличие от нее MathCad – в главном программка для численных расчетов). Это значит, что система почти всегда выдает ответ на решение задачки в самом общем – символьном виде. Maple одна из самых надежных к решению математических задач идостоверных систем компьютерной арифметики. Надежных – в смысле высочайшей достоверности и точности приобретенных результатов при самых сложных символьных вычислениях.

В особенности отлично внедрение Maple при обучении арифметике. Высокий «интеллект» этой системы символьной арифметики соединяется воединыжды в ней с сильными средствами математического численного моделирования и способностями графической визуализации решений.

Maple – встроенная система. Она к решению математических задач соединяет воединыжды внутри себя:

Разглядим коротко главные механизмы работы в Maple. Более подробную информацию можно взять в [1, 9, 12, 13], также на бессчетных веб-сайтах, посвященных этой системе.

Основой для работы с символьными преобразованиями в Maple является ядро системы. Оно содержит сотки базисных функций и алгоритмов численных и символьных преобразований. В ядре имеются также библиотека операторов к решению математических задач, команд и специально подключаемые пакеты(packages).

При начальном запуске возникает рабочее окно программки Maple (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

В неких новых версиях программки оно может несколько отличаться от этого (в данном пособии идет речь о версии Maple 12, большая часть примеров и описаний идут корректно на версиях Maple 10 и Maple к решению математических задач 11). Рабочее окно программки состоит из последующих частей:

1) основного (головного) меню (вкладки File, Edit, View, Insert, Format, Spreadsheet, Window, Help);

2) панели основных инструментов;

3) контекстной панели инструментов;

4) рабочей области (окно ввода и редактирования документов).

Рабочий лист (worksheet) среды является главным документом, в каком вводятся команды юзера и в который выдаются результаты работы.

В рабочем листе Maple выделяются области ввода и области вывода к решению математических задач. В области ввода юзером вводятся команды (более подробное описание видов команд смотри дальше), также комменты и текстовая информация. В полях вывода показываются результаты выполнения введенных команд, включая сообщения об ошибках и графика. Комменты и текстовая информация ядром Maple не обрабатываются и предусмотрены только для разработчиков и юзеров программ.

Основной режим к решению математических задач работы системы Maple– командно-диалоговый режим. Это значит, что юзер на запрос системы

[ >

должен ввести команды, понятные микропроцессору Maple. Признаком окончания ввода команды служит знак точка с запятой (;) (итог деяния микропроцессора и вычисления будет выведен на экран) либо знак двоеточие (:) (вычисления не будут выведены на экран, данный знак употребляется как символ разделителя к решению математических задач при записи неких команд в одной строке).

Область ввода и соответственная ей область вывода именуются группой вычислений. На рабочем листе она отмечается квадратной скобкой слева. В группе вычислений может содержаться несколько областей ввода и вывода: все команды и операторы в областях ввода одной группы вычислений обрабатываются системой за одно к решению математических задач воззвание по нажатию кнопки .

Mapleимеет последующие главные виды команд:

1) оператор присваивания. Имеет последующий синтаксис (правило описания):

[ > имя_переменной:=значение[;\:]

К примеру,

[ > x:=3; v:=vector([1,2,3]); f(y):=sin(ln(y));

2) вызов процедуры либо функции. Имеет последующий синтаксис:

[> имя_процедуры(перечень характеристик)[;\:]

либо

[> имя_переменной:=имя_функции(перечень характеристик)[;\:]

В последующих к решению математических задач строчках определены функция , дробно-рациональная функция , процедуры интегрирования функции , дифференцирования и функция упрощения производной от :

[ > restart; f(x):=tan(x); g(x):=int(f(x),x);

[ > h(x):=(x+2)/(x-2); diff(h(x),x); R:=simplify(diff(h(x),x));

Приведем описание неких интегрированных функций простых преобразований, которые к решению математических задач нам потребуются в предстоящем:

restart – “обнуление” значений всех переменных, отмена присоединенных пакетов и т.д. (рекомендуется использовать в качестве первой команды рабочего листа);

evalf– преобразования числа в число с плавающей точкой (перевод четкого числа в приближенное). Имеет последующий синтаксис:

[> evalf(, );

[> evalf[]();

Тут характеристики:

– выражение, в каком все числа требуется привести к виду к решению математических задач чисел с плавающей точкой;

– целое число, указывающее количество означающих цифр для вычислений (необязательный параметр);

Digits– глобальная переменная пакета Maple, значение которой (по дефлоту оно равно 10) указывает количество означающих цифр, выводимых на экран;

% (знак процента) – вывод результата выполнения предшествующей операции;

%% – вывод результата выполнения “предпредыдущей” операции;

# (знак решетка) – внедрение комментария в программке;

simplify – упростить выражение к решению математических задач. Имеет последующий синтаксис:

[> simplify();

С полным перечнем функций, входящих в ядро Maple, и их обозначениями можно познакомиться, набрав команду inifcn, выделить ее мышкой и надавить кнопку ;

3) подключение особых пакетов Maple.Подключение пакета осуществляется последующим образом:

[> with(имя_пакета)[;\:]

К примеру, при помощи последующих команд:

[> restart; with(LinearAlgebra):

[> with(simplex);

в оперативку к решению математических задач загружаются пакет LinearAlgebra, направленный на решение задач линейной алгебры, и пакет simplex, созданный для решения задач линейного программирования.

Напомним, что при исходном запуске системы в оперативку загружено только ядро системы. Но при решении большого класса задач, требующих сложных расчетов, интегрированных процедур и функций ядра не хватает. В к решению математических задач состав Maple 12 заходит около 80 пакетов. Дадим перечень более нередко применяемых пакетов Maple (с полным перечнем пакетов можно ознакомиться, используя главное меню Help –> вкладка Introduction –> Mathematics… –> Packages…):

· DEtools – решение обычных дифференциальных уравнений и систем в численном и аналитическом видах, представление результатов в виде фазовых портретов, полей направлений, интегральных кривых и т к решению математических задач.д.;

· finance –пакет денежной арифметики;

· geom3d, geometry – пакеты трехмерной и двумерной евклидовой геометрии;

· LinearAlgebra – линейная алгебра (основной и неподменный пакет для решения задач линейной и матричной алгебры);

· linalg – линейная алгебра и структуры данных массивов (до версии 6.0 являлся главным пакетом для решения задач линейной алгебры);

· inttrans – интегральные преобразования и их оборотные к решению математических задач преобразования;

· networks – пакет для работы с графами;

· numapprox – численная аппроксимация;

· Optimization пакет для решения задач нелинейного программирования;

· plots – пакет для расширения графических способностей;

· powseries – разложение функций в степенные ряды;

· simplex – пакет для решения задач линейного программирования;

· statistic – пакет для обработки статистических данных;

· sumtools — числовые ряды;

4) вызов справки (либо примера) по к решению математических задач определенному разделу, процедуре, функции, пакету. Вызов делается последующим образом:

[> help(имя)[;\:]

[> example(имя)[;\:]

§ 2. Применение пакета Maple к решению задач математического анализа

В этом параграфе будет рассмотрено применение Maple к решению нередко встречающихся задач математического анализа. В состав ядра Maple заходит достаточное количество интегрированных процедур и функций [1, 9, 12, 13], нацеленных на решение задач математического к решению математических задач анализа. В табл. 2.1 приводится перечень процедур и функций, которые нам потребуются в предстоящем.

Таблица 2.1.

Процедура, функция Предназначение процедуры, функции
plot(f(x),x) Построение графика функции
solve(f(x),x) Решение уравнения , неравенства
fsolve(f(x),x) Решение нелинейного уравнения либо неравенства
diff(f(x),x[i]) Процедура дифференцирования к решению математических задач функции по переменной
int(f(x),x[i]) Процедура интегрирования функции по переменной
int(f(x),x=a..b) Вычисление определенного ( ) либо несобственного ( ) интеграла
piecewise(f1,g1,…,fn,gn) Определение кусочно-заданной функции в виде
limit(f(x),x=x0,dir) Нахождение предела функции в точке , dir - параметр, принимающий значения к решению математических задач left (предел слева), right (предел

Окончание табл.2.1.

справа)
discont(f(x),x) Функция, возвращающая значения , в каких нарушается условие непрерывности функции
maximized(f(x), x=a..b) minimized(f(x), x=a..b) Нахождение большего и меньшего значений функции на отрезке
ехtrema(f(x),{переменные}) Нахождение бесспорных к решению математических задач экстремумов функции нескольких переменных
ехtrema(f(x),{g(x)}, {переменные}) Нахождение условных экстремумов функции с условием

2.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Покажем, как применяется аппарат Maple при исследовании функции одной переменной. А график, построенный командой plot, будем использовать в качестве иллюстрации приобретенных результатов.

Пример 2.1. Провести полное исследование функции . Решение

Рабочий лист в среде Maple имеет последующий вид к решению математических задач.

[> restart; f(x):=(3-x)*exp(x); /определяем точки разрыва функции и область значений функции / [> Point_Discont:=discont(f(x),x); E_f:={limit(f(x), x=-infinity), limit(f(x), x=+infinity)}; /проверяем функцию на четность и нечетность при помощи команды evalb/ [> evalb(f(-x)=f к решению математических задач(x)); evalb(f(-x)=-f(x)); /функция является функцией вида/ /находим уравнение ( , ) наклонной либо горизонтальной асимптоты при помощи команды limit/ [> k[1]:=limit(f(x)/x, x=-infinity); k[2]:=limit(f(x)/x, x=+infinity); [> b[1]:=limit(f(x)-k[1]*x, x=-infinity); b[2]:=limit(f(x)-k[2]*x, x=+infinity); /график функции к решению математических задач имеет горизонтальную асимптоту на / /определяем области знакоположительности (OBlast_ZnakoPol_f) и знакоотрицательности (OBlast_ZnakoOtr_f) функции, также нули функции/ [> OBlast_ZnakoPol_f:=solve(f(x)>0,x); OBlast_ZnakoOtr_f:=solve(f(x)<0,x); Null_f:=solve(f(x)=0,x); /находим первую производную функции, стационарную точку функции , определяем интервалы возрастания (Interval_Vosrastan) и убывания (Interval_Ubyvan) функции/ [> g(x):=diff(f(x),x); x[0]:=fsolve(g(x)=0,x); [> Interval_Vosrastan:=solve(g(x)>0,x к решению математических задач); Interval_Ubyvan:=solve(g(x)<0,x); /находим вторую производную функции, определяем интервалы неровности вниз (Interval_Vypuklost_Vnis) и неровности ввысь (Interval_Vypuklost_Vverh) функции/ [> h(x):=diff(f(x),x$2); x[1]:=fsolve(h(x)=0,x); [> Interval_Vypuklost_Vnis:=solve(h(x)>0,x); Interval_Vypuklost_Vverh:=solve(h(x)<0,x); /строимграфикфункции/ [> plot((3-x)*exp(x),x=-3..4, color=black, thickness=3);

2.2. Дифференциальное исчисление функции многих переменных

В данном разделе разглядим применение к решению математических задач аппарата Maple к вычислению личных производных и нахождению экстремумов функции многих переменных. Интегрированная в ядро Maple функция дифференцирования diff применима к функции многих переменных . Ее формат для вычисления личной производной ( ) имеет вид:

[> diff(f(x), x1$k1, …, xn$kn);

Пример 2.2. Дана функция . Отыскать личные производные первого и второго порядков, проверить справедливость равенства смешанных производных второго к решению математических задач порядка.

[> z:=cos(x*x+y)-exp(x-y*y); /задаем функцию/ [> dzdx:=diff(z,x); dzdy:=diff(z,y); /вычисляем личные производные первого порядка/ [> d2zdx2:=diff(z,x$2); d2zdy2:=diff(z,y$2); /вычисляем личные производные второго порядка/ [> d2zdxdy:=diff(z,x,y к решению математических задач); d2zdydx:=diff(z,y,x); /вычисляем смешанные производные второго порядка/ [> evalb(d2zdxdy=d2zdydx); /проверяем равенство смешанных производных/

Бесспорные экстремумы функции переменной находятся при помощи интегрированной процедуры ехtrema:

[> ехtrema(f(x),{},{переменные});

Но эта функция, как мы увидим из примера, дает только точки, подозрительные на экстремум. Для к решению математических задач четкого ответа на вопрос об экстремуме нужно изучить функцию при помощи известного аспекта Сильвестра.

Пример 2.3. Изучить на бесспорный экстремум функцию

.

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z:=2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4: [> plot3d(z, x[1]=-2..2, x[2]=-2..2); /строим график мотивированной функции/ /из графика функции видно, что она имеет две точки максимума/ [> extrema к решению математических задач(z,{},{x[1],x[2]}); /вычисляем вероятные экстремумы/ [> dzdx1:=diff(z,x[1]); dzdx2:=diff(z,x[2]); /вычисляем личные производные первого порядка/ [> fsolve({dzdx1=0,dzdx2=0},{x[1],x[2]}); /вычисляем точку вероятного экстремума, пользуясь нужным признаком точки экстремума/ [> d2zdx12:=diff(z,x[1]$2); d2zdx22:=diff(z,x[2]$2); d2zdx1dx2:=diff(z к решению математических задач,x[1],x[2]); /вычисляем личные производные второго порядка/ [>Gesse:= Matrix(2,2,[[d2zdx12,d2zdx1dx2],[d2zdx1dx2,d2zdx22]]); /строим матрицу Гессе личных производных второго порядка / /Ниже исследуется точка вероятного экстремума при помощи аспекта Сильвестра/ [> x[1]:=1.414213562: x[2]:=-1.414213562: Gesse; Delta[1]:= Gesse[1,1]; Delta[2]:=Gesse[1,1]*Gesse[2,2]-Gesse[1,2]^2;

Согласно аспекту Сильвестра точка является точкой к решению математических задач максимума функции. 2-ая точка также является точкой максимума функции (матрица Гессе в ней имеет таковой же вид).

Исследуем точку при помощи аспекта Сильвестра.

[> x[1]:=0: x[2]:=0: Gesse; Delta[1]:=Gesse[1,1]; Delta[2]:=Gesse[1,1]*Gesse[2,2]-Gesse[1,2]^2; [> restart;z:=2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4:

Главный минор матрицы Гессе равен нулю, как следует, нужно к решению математических задач проводить дополнительные исследования. Ниже показано, что при:

, : ,

: .

В довольно малой округи точки функция меняет собственный символ (при всем этом ), и точка не является точкой экстремума.

[> x[1]:=0: z; solve(z>=0, x[2]); [> x[1]:=x[2]: z; solve(z<0, x[2]);

Условные экстремумы функции многих переменных находятся при помощи той же процедуры ехtrema, исключительно в фигурных скобках к решению математических задач {} указываются ограничения (уравнения связи) на переменные .

Понятно, что задачка на условный экстремум ставится так: отыскать точку условного экстремума (максимума либо минимума) функции , если на переменные накладываются дополнительные ограничения (уравнения связи): ( ).

Пример 2.4. Отыскать точку условного экстремума функции

,

где переменные удовлетворяют уравнениям связи

Решение

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z:=x[1]*x[2]*x[3]; phi к решению математических задач[1]:=x[1]+x[2]+x[3]-4; phi[2]:=x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]-5; /Находим экстремумы функции при помощи команды ехtrema (заметим, что команда выдает нам только значение экстремума функции)/ [> extrema(z,{phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x[3]}); /При помощи процедуры solve находим точки вероятного условного экстремума функции/ [> solve({z=2,phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x к решению математических задач[3]}); [> solve({z=50/27,phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x[3]}); /Строим функцию Лагранжа . Применяя нужный признак условного экстремума для функции Лагранжа, находим ее условно-стационарные точки/ [> L:=z+lambda[1]*phi[1]+lambda[2]*phi[2]; [> dLdx1:=diff(L,x[1]); dLdx2:=diff(L,x[2]); dLdx3:=diff(L,x[3]); dLdlambda1:=diff(L,lambda[1]); dLdlambda2:=diff(L,lambda[2]); [> Uslov к решению математических задач_Stat_Point:=solve({dLdx1=0, dLdx2=0, dLdx3=0, dLdlambda1=0, dLdlambda2=0},{x[1],x[2],x[3],lambda[1], lambda[2]}): [> Uslov_Stat_Point[1]; Uslov_Stat_Point[2]; Uslov_Stat_Point[3]; Uslov_Stat_Point[4]; Uslov_Stat_Point[5];Uslov_Stat_Point[6];

Дальше при помощи достаточного признака условного экстремума выясняем, является ли точкой условного экстремума. Для этого построим к решению математических задач квадратичную форму второго дифференциала для функции Лагранжа в точке :

,

где приращения переменных связаны соотношениями

либо в обозначениях Maple

(связь меж найдем, решив подобающую систему уравнений).

[> d2Ldx1dx1:=diff(L,x[1]$2); d2Ldx2dx2:=diff(L,x[2]$2); d2Ldx3dx3:=diff(L,x[3]$2); d2Ldx1dx2:=diff(L,x[1],x[2]); d2Ldx к решению математических задач1dx3:=diff(L,x[1],x[3]); d2Ldx2dx3:=diff(L,x[2],x[3]); [> a[1,1]:=diff(phi[1],x[1]); a[1,2]:=diff(phi[1],x[2]); a[1,3]:=diff(phi[1],x[3]); [> a[2,1]:=diff(phi[2], x[1]); a[2,2]:=diff(phi[2], x[2]); a[2,3]:=diff(phi[2], x[3]); [> eq1:=a[1,1]*dx[1]+a[1,2]*dx[2]+a[1,3]*dx[3]=0; eq2:=a[2,1]*dx[1]+a[2,2]*dx к решению математических задач[2]+a[2,3]*dx[3]=0; [> x[1]:=1: x[2]:=1: x[3]:=2: lambda[1]:=1: lambda[2]:=-1: solve({eq1,eq2},{dx[1],dx[2],dx[3]}); [> Forma_Vtorogo_Porydka:=d2Ldx1dx1*dx[1]*dx[1]+ d2Ldx2dx2*dx[2]*dx[2]+d2Ldx3dx3*dx[3]*dx[3]+ 2*d2Ldx1dx2*dx[1]*dx[2]+2*d2Ldx1dx3*dx[1]*dx[3]+ 2*d2Ldx2dx3*dx[2]*dx[3];

Беря во внимание к решению математических задач, что , получаем . Это значит, что есть точка максимума для функции , где переменные удовлетворяют двум уравнениям связи

§ 3. Описание пакета LinearAlgebra

В Maple имеется пакет LinearAlgebra, направленный на решение задач линейной (матричной) алгебры. Он загружается соответственной командой:

[> with(LinearAlgebra);

После выполнения этих команд система выводит на экран перечень процедур и функций, которыми располагает пакет LinearAlgebra.

Пакет LinearAlgebra является к решению математических задач более массивным и совершенным по сопоставлению с linalg (в ранешних версиях программки). Он предназначен для работы с матрицами и векторами огромных размеров. Самым обычным образом матрицу размером в пакете LinearAlgebra можно сформировать с помощью команды

[> Matrix(m, n, [[a[1,1],…,a[1,n]],…,[a[m,1],…,a[m,n]]]);

Приведем в табл. 3.1 предназначение к решению математических задач более нередко применимых процедур и функций пакета LinearAlgebra. Более полную информацию о каждой процедуре либо функции можно выяснить в справке, либо набрав команду

[> help(имя_процедуры);

Таблица 3.1.

Заглавие процедуры, функции Предназначение процедуры, функции
Basis Определяет базис для векторного места, данного системой векторов
CharacteristicMatrix Делает для квадратной матрицы ее характеристическую матрицу
CharacteristicPolynomial Делает к решению математических задач для квадратной матрицы ее характеристический многочлен
Determinant Вычисляет для квадратной матрицы ее определитель
DiagonalMatrix Делает диагональную матрицу
Eigenvalues Вычисляет для квадратной матрицы ее собственные значения (собственные числа)
Eigenvectors Вычисляет для квадратной матрицы ее собственные векторы (рекомендуется использовать вкупе с процедурой Eigenvalues)
LinearSolve Решает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в к решению математических задач матричной форме
MatrixAdd Процедура сложения 2-ух матриц
Matrixlnverse Процедура нахождения оборотной матрицы
MatrixMatrixMultiply Процедура произведения 2-ух матриц
MatrixNorm Функция вычисления нормы матрицы
MatrixScalarMultiply Процедура умножения матрицы на скаляр
MatrixVectorMultiply Процедура умножения матрицы на вектор
Minor Вычисляет минор матрицы
Normalize Восстанавливает вектор
NullSpace Возвращает нуль-пространство (ядро) матрицы
Rank к решению математических задач Вычисляет ранг матрицы
SylvesterMatrix Конструирует матрицу Сильвестра из многочленов
Transpose Вычисляет матрицу, транспонированную к данной

Приведем примеры решения более нередко встречающихся задач линейной алгебры (исследование систем линейных алгебраических уравнений на совместность, вычисление собственных векторов и чисел матриц).

Пример 3.1. Изучить СЛАУ с параметром (СЛАУ задана собственной расширенной матрицей) и решить в к решению математических задач каждом случае:

.

Ниже приведен текст рабочего листа по решению данной задачки (с описаниями по ходу выполнения команд).

[> restart; with(LinearAlgebra): /задаем вектор-столбцы основной матрицы/ [> a1:=Vector([2,1,3]); a2:=Vector([lambda+1,lambda,-3]); a3:=Vector([lambda-2,-3,-7]); /задаем основную матрицу и вектор-столбец свободных коэффициентов системы/ [> A:=Matrix(3,3,[a1,a2,a3]); B к решению математических задач:=Vector([3,lambda+2,3]); /выводим определитель основной матрицы системы, решение системы в матричном виде (при значениях, в каких определитель основной матрицы не равен нулю)/ [> Delta:=Determinant(A); X:=LinearSolve(A,B); /вычисляем значения параметра , при котором определитель обращается в нуль/ [> Korni:=solve(Determinant(A)=0); [> lambda:=Korni[1]; X:=LinearSolve(A к решению математических задач,B); Error,(in LinearAlgebra:-LA_Main:-LinearSolve) inconsistent system /Maple предупреждает, что СЛАУ при данном значении параметра несовместна/ [> lambda:=Korni[2]; X:=LinearSolve(A,B); /СЛАУ имеет нескончаемое огромное количество решений при всем этом значении параметра /

Пример 3.2. Отыскать собственные числа и соответствующые собственные векторы матрицы

.

Текст рабочего листа по решению задачки имеет вид к решению математических задач:

[> restart; with(LinearAlgebra): [> A:=Matrix(3,3,[[3,-6,9],[1,-2,3],[-3,6,-9]]); /задание начальной матрицы/ [> Add(A,-lambda): p(lambda):=Determinant(Add(A,-lambda)); /составление характеристического многочлена матрицы/ [> solve(p(lambda)=0,{lambda}); /вычисление собственных чисел матрицы/ [> v:=Eigenvalues(A); F:=Eigenvectors(A); /вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы при помощи процедуры Eigenvectors: 1-ый столбец v – собственные к решению математических задач числа матрицы, 2-ая матрица F содержит надлежащие собственные векторы матрицы, они размещены по столбцам!)/

§ 4. Описание пакета Optimization

Пакет Optimization, входящий в состав Maple, предназначен для решения оптимизационных задач. Он загружается в память при помощи команды

[> with(Optimization);

Как видно, в состав этого пакета входят 8 процедур и функций. Описание более принципиальных к решению математических задач из их приведено в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Заглавие процедуры, функции Предназначение процедуры, функции
Interactive Решение оптимизационной задачки с выводом процесса решения в интерактивном виде
LPSolve Решение задачки линейного программирования. Процедура равносильна решению задачки с внедрением пакета simplex(см. §5)
Maximize Процедура вычисления максимума мотивированной функции
Minimize Процедура вычисления минимума мотивированной функции к решению математических задач
NLPSolve Решение задачки нелинейного программирования
QPSolve Решение задачки квадратичного программирования

Пусть даны мотивированная функция переменной ( – управляющие переменные, ) и система из ограничений, выраженных неравенствами (равенствами)

(4.1)

Ниже приведены варианты использования процедуры Maximize при решении разных оптимизационных задач:

[> Maximize(object_function);

процедура нахождения большего значения мотивированной функции при всех значениях управляющих переменных (решается задачка на к решению математических задач бесспорный экстремум: , );

[> Maximize(object_function, {constr});

процедура нахождения большего значения мотивированной функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задачка на условный экстремум: , , );

[> Maximize(object_function, {constr}, assume=nonnegative);

процедура нахождения большего значения мотивированной функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задачка на условный экстремум: , , ).

Тут object_function – мотивированная функция к решению математических задач , {constr} – перечень ограничений вида (4.1), параметр assume=nonnegative значит, что задачка решается в области неотрицательных значений управляющих переменных.

Процедура NLPSolve в почти всех случаях описывается одним из последующих методов:

[> NLPSolve(object_function, initialpoint={x[1]=a1, x[2]=a2,

…, x[n]=an}, maximize);


k-prikazu-ifns-rossii-8-po-g-moskve.html
k-prikazu-uchebno-metodicheskogo-centra-razvitiya-obrazovaniya-v-sfere-kulturi-i-iskusstva.html
k-priznakam-detskoj-organizacii-otnosyatsya.html